Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a恒過點(diǎn)(-

π

3

，1)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求a的值；
（2）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用周期公式求解函數(shù)y=f（x）的最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）依題意得

3

sin[

3

2

×(-

π

3

)]+cos[

3

2

×(-

π

3

)]+a=1（3分）
解得a=1+

3

（5分）
（2）由f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a=2sin(

3

2

x+

π

6

)+1+

3

（7分）
∴函數(shù)y=f（x）的最小正周期T=

2π

3 2

=

4π

3

（8分）
由2kπ+

π

2

≤

3

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得

4kπ

3

+

2π

9

≤x≤

4kπ

3

+

8π

9

（k∈Z）（12分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

4kπ

3

+

2π

9

，

4kπ

3

+

8π

9

](k∈Z)（13分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)的化簡，周期的求法，單調(diào)減區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，注意基本函數(shù)的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)應(yīng)，是解好數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵，�？碱}型．