Question

設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=3x³-4x+a+1.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;

(3)若方程f(x)=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=9x²-4.令f′(x)＞0,解得x＞或x＜;

令f′(x)＜0,解得＜x＜.從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,),(,+∞);

單調(diào)遞減區(qū)間為(,).

(2)由f(x)≤0,得-a≥3x³-4x+1.

由(1)得,函數(shù)y=3x³-4x+1在(-2,)內(nèi)單調(diào)遞增,在(,0)內(nèi)單調(diào)遞減,

從而當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=3x³-4x+1取得最大值.

因?yàn)閷?duì)于任意x∈［-2,0］,不等式f(x)≤0恒成立,故-a≥,即a≤-,

從而a的最大值是-.

(3)當(dāng)x變化時(shí),f(x),f′(x)變化情況如下表:

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值a+	↘	極小值a	↗

①由f(x)的單調(diào)性,當(dāng)極大值a+＜0或極小值a＞0時(shí),方程f(x)=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;

②當(dāng)a=時(shí),解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;

③當(dāng)a=時(shí),解方程f(x)=0,得x=,x=,即方程f(x)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

如果方程f(x)=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,

則解得a∈(,).

事實(shí)上,當(dāng)a∈(,)時(shí),

∵f(-2)=-15+a＜-15+＜0,且f(2)=17+a＞17＞0,

∴方程f(x)=0在(-2,),(,),(,2)內(nèi)各有一根.

綜上,若方程f(x)=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是(,).