Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）求證：當(dāng)a＞ln2﹣1且x＞0時(shí)，e^x＞x²﹣2ax+1．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=e^x﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）．
（2）證明：設(shè)g（x）=e^x﹣x²+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R．
由（1）知當(dāng)a＞ln2﹣1時(shí)， g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．
于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當(dāng)a＞ln2﹣1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．
而g（0）=0，從而對(duì)任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e^x﹣x²+2ax﹣1＞0，
故e^x＞x²﹣2ax+1．