(2013•珠海二模)已知函數(shù)f(x)=
x2-ax+1
4x-4×2x-a
,
x≥a
x<a

(1)若x<a時(shí),f(x)<1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a≥-4時(shí),函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上有最小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)令2x=t,則有0<t<2a,f(x)<1當(dāng)x<a時(shí)恒成立,可轉(zhuǎn)化為t2-4×
t
2a
<1
,分離參數(shù)可得
4
2a
>t-
1
t
在t∈(0,2a)上恒成立,求出右邊的最值,即可得到結(jié)論;
(2)當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x2-ax+1,利用配方法,分類討論,可求函數(shù)的最小值;當(dāng)x<a時(shí),f(x)=4x-4×2x-a,令2x=t,t∈(0,2a),利用配方法,分類討論,可求函數(shù)的最小值,從而可得函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上有最小值時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)因?yàn)閤<a時(shí),f(x)=4x-4×2x-a,所以令2x=t,則有0<t<2a
所以f(x)<1當(dāng)x<a時(shí)恒成立,可轉(zhuǎn)化為t2-4×
t
2a
<1

4
2a
>t-
1
t
在t∈(0,2a)上恒成立,--------------------------------------(2分).
g(t)=t-
1
t
,t∈(0,2a)
,則g′(t)=1+
1
t2
>0
,------------------------------(3分).
所以g(t)=t-
1
t
在(0,2a)上單調(diào)遞增,-------------(4分).
所以g(t)<g(2a)=2a-
1
2a
,所以有:
4
2a
2a-
1
2a

所以
5
2a
2a
,所以(2a2≤5,所以2a
5
-----------------------------------------(5分).
所以a≤log2
5
.----------------------------(6分).
(2)當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x2-ax+1,即f(x)=(x-
a
2
)2+1-
a2
4
,----------(7分).
①當(dāng)
a
2
≤a
,∴a≥0時(shí),此時(shí)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè),開(kāi)口向上,所以f(x)在[a,+∞)單調(diào)遞增,
所以f(x)min=f(a)=1;-------------------------------------------------(8分).
②當(dāng)
a
2
>a
,∴-4≤a<0時(shí),此時(shí)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi),開(kāi)口向上,所以f(x)在[a,
a
2
)
單調(diào)遞減,在(
a
2
,+∞)
單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(
a
2
)=1-
a2
4

所以由①②可得:當(dāng)x≥a時(shí)有:f(x)min=
1-
a2
4
,-4≤a<0
1,a≥0
.---------------------(9分).
當(dāng)x<a時(shí),f(x)=4x-4×2x-a,令2x=t,t∈(0,2a),則h(t)=t2-
4
2a
t=(t-
2
2a
)2-
4
4a
,
③當(dāng)0<
2
2a
2a
,∴22a>2,∴a>
1
2
時(shí),h(t)在(0,
2
2a
)
單調(diào)遞減,在(
2
2a
2a)
上單調(diào)遞增h(t)min=h(
2
2a
)=-
4
4a
;---------------------------------------(10分).
④當(dāng)
2
2a
2a
,∴22a≤2,∴a≤
1
2
時(shí),h(t)在(0,2a)單調(diào)遞減,h(t)∈(h(2a),h(0))=(4a-4,0)
所以,此時(shí),h(t)在(0,2a)上無(wú)最小值;---------------------------------------------(11分).
所以由③④可得當(dāng)x<a時(shí)有:當(dāng)a>
1
2
時(shí),f(x)min=h(t)min=-
4
4a
;
當(dāng)a≤
1
2
時(shí),無(wú)最小值.------------------------------(12分).
所以,由①②③④可得:
當(dāng)a>
1
2
時(shí),因?yàn)?span id="vntpgei" class="MathJye">-
4
4a
<1,所以函數(shù)f(x)min=-
4
4a
;---------------------------(13分).
當(dāng)0≤a≤
1
2
時(shí),因?yàn)?a-4<0<1,函數(shù)f(x)無(wú)最小值;--------------------------------(14分).
當(dāng)-4≤a<0時(shí),4a-4<-3≤1-
a2
4
,函數(shù)f(x)無(wú)最小值.-------------------------(15分).
綜上所述,當(dāng)a>
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)有最小值為-
4
4a
;當(dāng)-4≤a≤
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)最小值.
所以函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上有最小值時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
1
2
,+∞)
.---------(16分).
點(diǎn)評(píng):本題考查分段函數(shù),考查函數(shù)的最值,考查配方法的運(yùn)用,考查分離參數(shù)法,屬于中檔題.
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50(13×20-10×7)2
23×27×20×30
≈4.84
因?yàn)棣?SUP>2>3.841,所以斷定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系,這種判斷出錯(cuò)的可能性最高為
5%
5%

       專業(yè)
性別
非統(tǒng)計(jì)專業(yè) 統(tǒng)計(jì)專業(yè)
13 10
7 20
P(K2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828

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a
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