Question

若函數(shù)f(x)＝x²＋bx＋c對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么

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A．f(2)＜f(1)＜f(4)

B．f(1)＜f(2)＜f(4)

C．f(2)＜f(4)＜f(1)

D．f(4)＜f(2)＜f(1)

Answer 1

答案：A
解析：

解法一：由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的對(duì)稱軸為直線x＝2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，因?yàn)楫?dāng)x＜2時(shí)，y＝f(x)為單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)?＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A． 　　解法二：由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的對(duì)稱軸為直線x＝2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，畫出函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的草圖如圖所示： 　　由草圖易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)解法一是先將要比較大小的幾個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量通過函數(shù)圖象的對(duì)稱軸化到該函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再利用該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來比較這幾個(gè)數(shù)的大��；解法二是根據(jù)所給條件畫出函數(shù)的草圖，只需將要比較大小的幾個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量進(jìn)行比較大小即可，當(dāng)然，這與函數(shù)圖象的開口方向也有關(guān)． 　　記憶技巧：若函數(shù)圖象開口向上，則當(dāng)自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)時(shí)函數(shù)值越大； 　　若函數(shù)圖象開口向下，則當(dāng)自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)時(shí)函數(shù)值越�。� 　　(2)通過此題可將對(duì)稱語言推廣如下： 　　①若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，則x＝a是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸； 　　②若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(a＋x)＝f(b－x)成立，則x＝是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸．

提示：

此題解決的關(guān)鍵是將函數(shù)的對(duì)稱語言轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸方程．