Question

（2008•奉賢區(qū)二模）如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8．
（1）求異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大��；（用反三角函數(shù)形式表示）
（2）若E是線段DD₁上（不包含線段的兩端點(diǎn)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋�(gè)與三棱錐體積有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（注：三棱錐需以點(diǎn)E和已知正四棱柱八個(gè)頂點(diǎn)中的三個(gè)為頂點(diǎn)構(gòu)成）；并解答所提出的問(wèn)題．

Answer 1

分析：（1）連接AC、AB₁，易知∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角，在△B₁CA中利用余弦定理解之即可即可求出異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大小；
（2）本小題是開(kāi)放題，第一種：提出問(wèn)題：證明三棱錐E-B₁BC的體積為定值，根據(jù)三棱錐E-B₁BC與三棱錐D-B₁BC同底等高可得結(jié)論．
第二種：提出問(wèn)題：三棱錐E-ADC的體積在E點(diǎn)從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到D₁過(guò)程中單調(diào)遞增，根據(jù)三棱錐E-ADC的體積與DE成正比，可知V_E-ADC隨著DE增大而增大可得結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，連接AC、AB₁，由AA1

∥

.

CC1，
知A₁ACC₁是平行四邊形，則A1C1

∥

.

AC，
所以∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角．-----（2分）
在△B₁CA中，AC=4

2

，AB1=B1C=4

5

，
則cos∠ACB1=

AC2+B1C2-AB12

2AC•B1C

=

10

10

，
所以∠ACB1=arccos

10

10

．----------（4分）

（2）若學(xué)生能提出一些質(zhì)量較高的問(wèn)題，則相應(yīng)給（3分），有解答的再給（5分）．
而提出一些沒(méi)有多大價(jià)值的問(wèn)題則不給分．
若提出的問(wèn)題為以下兩種情況，可以相應(yīng)給分．
第一種：
提出問(wèn)題：證明三棱錐E-B₁BC的體積為定值．-----（3分）
問(wèn)題解答：如圖，因?yàn)镈D₁∥平面B₁BCC₁，所以D₁D上任意一點(diǎn)到平面B₁BCC₁的距離相等，因此三棱錐E-B₁BC與三棱錐D-B₁BC同底等高，VE-B1BC=VD-B1BC．----------（3分）
而VD-B1BC=

1

3

•S△B1BC•DC=

1

3

×

1

2

×4×8×4=

64

3

，
所以三棱錐E-B₁BC的體積為定值

64

3

．----------（2分）
說(shuō)明：1）若提出的問(wèn)題為求三棱錐E-B₁BC的體積，則根據(jù)上述解答相應(yīng)給分．
2）若在側(cè)面B₁BCC₁上任取三個(gè)頂點(diǎn)，與點(diǎn)E構(gòu)成三棱錐時(shí)，結(jié)論類(lèi)似，可相應(yīng)給分．
若在側(cè)面A₁ABB₁上任取三個(gè)頂點(diǎn)，與點(diǎn)E構(gòu)成三棱錐時(shí)，結(jié)論類(lèi)似，可相應(yīng)給分．
第二種：
提出問(wèn)題：三棱錐E-ADC的體積在E點(diǎn)從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到D₁過(guò)程中單調(diào)遞增．-----（3分）
問(wèn)題解答：因?yàn)?span id="4jdgmyw" class="MathJye">VE-ADC=

1

3

•S△ADC•DE，知S_△ADC為定值，
則三棱錐E-ADC的體積與DE成正比，可知V_E-ADC隨著DE增大而增大，又因?yàn)镈E∈（0，8），----（3分）
即三棱錐E-ADC的體積在E點(diǎn)從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到D₁過(guò)程中單調(diào)遞增．-----（2分）
說(shuō)明：1）若提出的問(wèn)題是求三棱錐E-ADC的體積范圍，也可相應(yīng)給分．
解答：因?yàn)镾_△ADC=8，而VE-ADC=

8

3

DE，DE∈（0，8），----（3分）
則VE-ADC∈(0，

64

3

)．----（2分）．

2）若在底面ABCD上任取三個(gè)頂點(diǎn)，與點(diǎn)E構(gòu)成三棱錐時(shí)，結(jié)論類(lèi)似，可相應(yīng)給分．
若在底面A₁B₁C₁D₁上任取三個(gè)頂點(diǎn)，與點(diǎn)E構(gòu)成三棱錐時(shí)，結(jié)論類(lèi)似（單調(diào)遞減），
可相應(yīng)給分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成角，以及體積的度量，同時(shí)考查了空間想象能力，以及發(fā)散性思維，屬于中檔題．