Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=AB=2，AB⊥BC．點M，N分別是CC₁，B₁C的中點，G是棱AB上的動點．
（I）求證：B₁C⊥平面BNG；
（II）若CG∥平面AB₁M，試確定G點的位置，并給出證明；
（III）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）結合題目中的條件直接利用線面垂直的判定定理即可得證．
（Ⅱ）由于給出的條件是CG∥平面AB₁M則根據(jù)線面平行的性質定理可得CG與平面AB₁M內的一條直線平行，由于點M是CC₁的中點故可令G是棱AB的中點再取AB₁的中點H即可構造出平行四邊形HGCM從而平面AB₁M內與CG平行的直線就找到了故G是棱AB的中點．
（Ⅲ）根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的幾何特性可建立如圖（Ⅲ）所示的空間直角坐標系，然后求出平面B₁AM的法向量平面B₁AB的法向量然后再根據(jù)向量的夾角公式求出cos則此即為二面角M-AB₁-B的余弦值．
解答：（本小題共14分）
（I） 證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，點N是B₁C的中點，
∴BN⊥B₁C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁…（2分）
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB…（3分）
又BN∩BG=B
∴B₁C⊥平面BNG…（4分）
（II）當G是棱AB的中點時，CG∥平面AB₁M．…（5分）
證明如下：
連接AB₁，取AB₁的中點H，連接HG，HM，GC，
則HG為△AB₁B的中位線
∴GH∥BB₁，…（6分）
∵由已知條件，B₁BCC₁為正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M為CC₁的中點，
∴…（7分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四邊形HGCM為平行四邊形
∴GC∥HM
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M…（8分）
∴CG∥平面AB₁M…（9分）
（III）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁且AB⊥BC
依題意，如圖：以B₁為原點建立空間直角坐標系B₁-xyz，…（10分）
∴B₁（0，0，0），B（0，2，0），M（2，1，0），A（0，2，2），C₁（2，0，0）
則，
設平面B₁AM的法向量，
則，即，
令x=1，有…（12分）
又∵平面B₁AB的法向量為
∴==，…（13分）
設二面角M-AB₁-B的平面角為θ，且θ為銳角
∴cosθ=cos=              …（14分）
點評：本題主要考查了線面垂直的判定，線面平行的性質，以及二面角的求解，屬必考題，較難．解題的關鍵是熟記線面垂直的判定定理，線面平行的性質定理以及會求平面的法向量！