Question

如圖，設(shè)P是拋物線y=x²上一點(diǎn)，且在第一象限．過點(diǎn)P作拋物線的切線，交x軸于Q₁點(diǎn)，過Q₁點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于P₁點(diǎn)，此時(shí)就稱P確定了P₁．依此類推，可由P₁確定P₂，…．記P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①x_n＞0；
②數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
③對(duì)于?n∈N，?x＞1，使得y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出過點(diǎn)P_n作拋物線的切線方程為，證明數(shù)列{x_n}為公比為的等比數(shù)列，即可得到結(jié)論．
解答：解：記P_n（x_n，y_n），則
∵拋物線y=x²，∴y′=2x，
∴過點(diǎn)P_n作拋物線的切線方程為，即
令y=0，則，∴
∴數(shù)列{x_n}為公比為的等比數(shù)列
∵P是拋物線y=x²上一點(diǎn)，且在第一象限，
∴x_n＞0；數(shù)列{x_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
y+y₁+y₂+…+y_n=++…+=
∴0＜x＜時(shí)，y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
∴?x＞1，使得y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
故正確結(jié)論的序號(hào)為①②③
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．