Question

記關(guān)于x的不等式

x-a

x+1

＜0的解集為P，不等式（1+x）（1-|x|）≥0的解集為Q
（1）若a=2，求集合P，Q和P∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，根據(jù)積商符號(hào)法則即可求解該不等式求出集合P，再解含絕對(duì)值的不等式得出Q，最后求出它們的交集即可；
（2）利用（1）中結(jié)論，根據(jù)P∪Q=Q得到P⊆Q，列出關(guān)于a的不等式，解此不等式即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0?

x≥0 (1+x)(1-x)≥0

或

x＜0 (1+x)(1+x)≥0

解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①當(dāng)a＞-1時(shí)，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②當(dāng)a=-1時(shí)，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③當(dāng)a＞-1時(shí)，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
綜上所述，a的取值范圍a≤1．（16分）

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查不等式解法和集合交集與子集之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)考查分類(lèi)討論思想、學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題能力和計(jì)算能力．