Question

如圖，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，側(cè)棱AA₁＝1，側(cè)面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M.

（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小.

Answer 1

本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.

  解法一：（Ⅰ）如圖，連結(jié)CA₁、AC₁、CM，則CA₁=.

∵CB=CA₁=,

∴△CBA₁為等腰三角形，

又知D為其底邊A₁B的中點，

∴CD⊥A₁B.

∵A₁C₁=1,C₁B₁=,

∴A₁B₁=，

又BB₁＝1，∴A₁B＝2.

∵△A₁CB為直角三角形，

D為A₁B的中點，

∴CD=A₁B=1,CD=CC₁.

又DM=AC₁=,DM=C₁M,

∴△CDM≌△CC₁M,

∠CDM=∠CC₁M=90°,即CD⊥DM.

因為A₁B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設(shè)F、G分別為BC、BD的中點，連結(jié)B₁G、FG、B₁F，則

FG∥CD，FG=CD.

∴FG=,FG⊥BD.

由側(cè)面矩形BB₁A₁A的對角線的交點為D，

知BD=B₁D=A₁B=1，

所以△BB₁D是邊長為1的正三角形，

于是B₁G⊥BD,B₁G=

∴∠B₁GF是所求二面角的平面角.

又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（）²=

∴cosB₁GF==.

即所求二面角的大小為π－arccos

解法二：如圖，以C為原點建立坐標(biāo)系.

（Ⅱ）B（,0,0）,B₁（,1,0）,A₁（0,1,1）,D（,,）,M（,1,0）,

=（,,）, =（,－1,－1）,

=（0, ,－）,

則?=0, ?=0,

∴CD⊥A₁B,CD⊥DM.

因為A₁B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，

所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設(shè)BD中點為G，連結(jié)B₁G，則G（,,）,

=（－,,）, =（－,－,）,

∴?=0.∴BD⊥B₁G.

又CD⊥BD，

∴與的夾角θ等于所求二面角的平面角.

cosθ==－.

所以所求二面角的大小等于π－arccos.