Question

如圖，在海中一燈塔D的周圍有兩個觀察站A和C．已知觀察站A在燈塔D的正北5海里處，觀察站C在燈塔D的正西方．海面上有一船B，在A點測得其在南偏西60°方向4海里處，在C點測得其在北偏西30°方向上．
（I）求兩觀測點A與C的距離；
（II）設(shè)∠BCA=θ，求cos（θ-45°）

Answer 1

分析：（I）由題意可得∠BCD=120°，A、B、C、D 四點共圓，且AC為直徑，∠ABC=90°，AD=5，AB=4，由余弦定理求出
BD的值，再由正弦定理求出AC．
（II） 設(shè)∠BCA=θ，則∠DCA=120°-θ，△ABC中，由正弦定理求出sinθ，可得cosθ，再由兩角差的余弦公式求出
cos（θ-45°）的值．

解答：解：（I）由題意可得∠BCD=120°，∴A、B、C、D 四點共圓，且AC為直徑，∠ABC=90°，AD=5，AB=4．
BD=

AB2+AD2-2AB×ADcos∠BAD

=

42+52-2×4×5cos60°

=

21

．
∴AC=2R=

BD

sin∠BCD

=

21

sin120°

=2

7

．
（II） 設(shè)∠BCA=θ，則∠DCA=120°-θ，Rt△ABC中，由正弦定理可得

AB

sinθ

=

AC

sin90°

，
∴sinθ=

2 7

7

，cosθ=

21

7

．
∴cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=

42 +2 14

14

．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角差的余弦公式，解三角形的實際應(yīng)用，屬于中檔題．