Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）=a•3^x+3^-x，a為常數(shù)，
（1）求a的值；
（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程f（b）=f（|2^x-1|）（b為常數(shù)）在R上有且只有一個實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用偶函數(shù)的定義，即可得到a=1；
（2）運用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論等步驟；
（3）由偶函數(shù)和f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，得到b=|2^x-1|和-b=|2^x-1|，通過函數(shù)y=±b和y=|2^x-1|
的圖象即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）得a•3^-x+3^x=a•3^x+3^-x，
所以（a-1）（3^x-3^-x）=0對x∈R恒成立，
所以a=1；
（2）證明：由（1）得f（x）=3^x+3^-x，
任取m，n∈[0，+∞），且m＜n，
則f（m）-f（n）=3^m+3^-m-3ⁿ-3^-n=

(3m-3n)(3m+n-1)

3m+n

，
由0≤m＜n，得3^m-3ⁿ＜0，3^m+n＞0，3^m+n-1＞0
則f（m）-f（n）＜0即有f（m）＜f（n），
所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；          
（3）因為偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f（b）=f（|2^x-1|），
①當(dāng)b≥0時，得b=|2^x-1|在R上有且只有一個實根，
所以函數(shù)y=b與y=|2^x-1|的圖象有且只有一個交點，
由圖象得b≥1或b=0；
②當(dāng)b＜0時，得-b=|2^x-1|在R上有且只有一個實根，
所以函數(shù)y=-b與y=|2^x-1|的圖象有且只有一個交點，由圖象得b≤-1
綜上所述：b≤-1或b=0或b≥1．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷及運用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．