Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則OM的取值范圍是

[0，2）

．

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線(xiàn)，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍

解答：解：如圖，延長(zhǎng)PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點(diǎn)，∵PM是∠F₁PF₂平分線(xiàn)，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點(diǎn)，
連接OM，∵O為F₁F₂中點(diǎn)，M為F₁F₂中點(diǎn)
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P點(diǎn)在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵當(dāng)|x₀|=4時(shí)，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案為[0，2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的焦半徑公式在求范圍中的應(yīng)用，做題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)．