Question

已知點(diǎn)A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）
（Ⅰ）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)
（Ⅲ）求BC所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線y²=2px上，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，易求出參數(shù)p的值，代入即得拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）又由，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合，由重心坐標(biāo)公式，易得線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出過BC中點(diǎn)M的直線方程，根據(jù)聯(lián)立方程、設(shè)而不求、余弦定理易構(gòu)造關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，進(jìn)而可以得到直線的方程．

解答：解：（I）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線y²=2px上，有8²=2p•2解得p=16
所以拋物線方程為y²=32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）

（II）如圖，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，AM是BC上的中線，由重心的性質(zhì)可得

AF

FM

=2；
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

2+2x0

1+2

=8，

8+2y0

1+2

=0解得x₀=11，y₀=-4所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（11，-4）

（III）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸．
設(shè)BC所成直線的方程為y+4=k（x-11）（k≠0）
由

y+4=k(x-11) y2=32x

消x得ky²-32y-32（11k+4）=0
所以y1+y2=

32

k

由（II）的結(jié)論得

y1+y2

2

=-4解得k=-4
因此BC所在直線的方程為y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．