已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an+(
1
2
)n+1(n∈N*)，且a1=1；設(shè)bn=
1
2
an-
3
4
．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求數(shù)列{bn•cn}的前n項(xiàng)和Sn．
（Ⅰ）∵an+1=an+(
1
2
)n+1(n∈N*)，且a1=1，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
n
)n=1+
1
4
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=
3
2
-(
1
2
)n．
又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴an=
3
2
-(
1
2
)n(n∈N*)．
（Ⅱ）∵bn=
1
2
an-
3
4
=
1
2
[
3
2
-(
1
2
)n]-
3
4
=-
1
2
n+1(n∈N*)，
又∵cn=2n-1(n∈N*)，
∴Sn=b1•c1+b2•c2+…+bn•cn
∴Sn=-(
1
2
)2-3×(
1
2
)3-5×(
1
2
)4-…-(2n-1)×(
1
2
)n+1①
∴
1
2
Sn=-(
1
2
)3-3×(
1
2
)4-…-(2n-3)×(
1
2
)n+1-(2n-1)×(
1
2
)n+2②
①-②得：
1
2
Sn=-(
1
2
)2-2×(
1
2
)3-2×(
1
2
)4-…-2×(
1
2
)n+1+(2n-1)×(
1
2
)n+2
=-
1
4
-2[(
1
2
)3+(
1
2
)4+…+(
1
2
)n+1]+(2n-1)(
1
2
)n+2=-
3
4
+
2n+3
2n+2

∴Sn=-
3
2
+
2n+3
2n+1
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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