Question

若Sn=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

nπ

5

（n∈N^*），則在S₁，S₂，…，S₂₀中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是

16

．

Answer 1

分析：由于一，二象限角的正弦值為正，三，四象限角的正弦值為負(fù)值，故sin

π

5

＞0，…，sin

4π

5

＞0，sin

5π

5

=0，sin

6π

5

＜0，…，sin

9π

5

＜0，sin

10π

5

=0，可得到S₁＞0，…S₈＞0，而S₉=S₁₀=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案．

解答：解：∵sin

π

5

＞0，sin

2π

5

＞0，sin

3π

5

＞0，sin

4π

5

＞0，sin

5π

5

=0，
sin

6π

5

=-sin

4π

5

＜0，…，sin

9π

5

=-sin

π

5

＜0，sin

10π

5

=0，
∴S₁=sin

π

5

＞0，
S₂=sin

π

5

+sin

2π

5

＞0，
…，
S₈=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

8π

5

=sin

π

5

＞0，
而S₉=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

8π

5

+sin

9π

5

=sin

π

5

-sin

π

5

=0，
S₁₀=S₉+sin

10π

5

=0+0=0，
又S₁₁=S₁₀+sin

π

5

=0+sin

π

5

=S₁＞0，S₁₂=S₂＞0，…S₁₉=S₉=0，S₂₀=S₁₀=0，
∴在S₁，S₂，…，S₂₀中，為0的項(xiàng)共有4項(xiàng)，其余項(xiàng)都為正數(shù)．
故在S₁，S₂，…，S₂₀中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，通過分析sin

nπ

7

的符號(hào)，找出S₁，S₂，…，S₂₀中，S_10n-1=0，S_10n=0是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查學(xué)生分析運(yùn)算能力與冷靜堅(jiān)持的態(tài)度，屬于中檔題．