Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為A，延長FA交雙曲線右支于點P，若A為線段PF靠近F的三等分點，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  13

  3

• C、

  5

• D、

  13

  2

Answer 1

分析：設(shè)出點A，和P的坐標，求出所用向量的坐標，利用

OA

•

FA

=0結(jié)合點A在圓上求出A的坐標，利用

FP

=3

FA

把P的坐標用A的坐標表示，代入雙曲線方程后整理運算即可得到答案．

解答：解：如圖，
F（-c，0），設(shè)A（x₀，y₀），P（x₁，y₁）．
則

OA

=(x0，y0)，

FA

=(x0+c，y0)，

FP

=(x1+c，y1)．
由

OA

•

FA

=0，得x02+cx0+y02=0，即cx0+a2=0．
∴x0=-

a2

c

，y02=a2-x02=a2-

a4

c2

=

a2b2

c2

．
又A為線段PF靠近F的三等分點，
∴

FP

=3

FA

，∴

x1+c=3x0+3c y1=3y0

，即

x1=3x0+2c y1=3y0

．
代入

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)得，

(3x0+2c)2

a2

-

9y02

b2

=1①
把x₀，y₀代入①得，

(2c- 3a2 c )2

a2

-

9• a2b2 c2

b2

=1，
整理得，4c²=13a²，解得e=

13

2

．
故選D．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓練了利用數(shù)量積解題，考查了學生的計算能力，是中檔題．