Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-a|（a∈R）．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＜|2x-1|-1；
（2）當x∈（-2，1）時，|x-1|＞|2x-a-1|-f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式即|2x-1|-|x-1|＞1，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；
（2）由題意可得，當x∈（-2，1）時，|x-1|+|x-a|＞|2x-a-1|=|（x-a）+（x-1）|恒成立，可得（x-a）與（x-1）的符號相反，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-a|，當a=1時，不等式f（x）＜|2x-1|-1，
即|2x-1|-|x-1|＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x-（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{2x-1-（1-x）＞1}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-1-（x-1）＞1}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x＜-1，解②求得x∈∅，解③求得x＞1．
綜上可得，不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞1}．
（2）∵當x∈（-2，1）時，|x-1|＞|2x-a-1|-f（x），
即|x-1|+|x-a|＞|2x-a-1|=|（x-a）+（x-1）|恒成立．
∴（x-a）與（x-1）的符號相反，
即x-a 與1-x的符號相同，∴a≤-2．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，屬于中檔題．