Question

已知函數(shù)f（x）=（

x

-2）²（x≥4）的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足bn=

4

an+1-1

(n∈N×)．
（Ⅰ）求證{

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由函數(shù)f（x）=（

x

-2）²（x≥4），求得反函數(shù)，再由a_n+1=f^-1（a_n）求得

an+1

-

an

=2（n∈N*）由等差數(shù)列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）可計(jì)算得a_n=（2n-1）²從而計(jì)算得到b_n=

4

an+1-1

=

4

(2n+1)2-1

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，最后由錯(cuò)位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（

x

-2）²（x≥4），
∴f^-1（x）=（

x

+2）²（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=（

an

+2）²，
即

an+1

-

an

=2（n∈N*）．
∴數(shù)列{

an

}是以

a1

=1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

an

=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=（2n-1）²
∴b_n=

4

an+1-1

=

4

(2n+1)2-1

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相消法求和等問(wèn)題，屬中檔題，是�？碱愋停�