Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，向量

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，且

m

∥

n

．
（1）求角B的大�。�
（2）若b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意利用兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)可得 （2a-c）cosB-bcosC=0，再利用正弦定理化簡(jiǎn)可得cosB=

1

2

，從而求得B的值．
（2）由條件利用余弦定理、基本不等式可得 （a+c）²≤12，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，由此求得a+c的最大值．

解答：解：（1）由題意利用兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)可得 （2a-c）cosB-bcosC=0，
再利用正弦定理可得 2sinAcosB-sinCcosB-sinBcosC=0．
化簡(jiǎn)可得 2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
解得cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）由條件利用余弦定理可得 b²=3=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3(

a+c

2

)2=

(a+c)2

4

，
∴（a+c）²≤12，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，
故 a+c≤2

3

，
即a+c的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．