Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，x∈[-1，0）∪（0，1]．
（1）證明函數(shù)f（x）在（0，1]上的單調(diào)性．
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并求函數(shù)f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，證明f′（x）=1-

1

x2

＜0，即可求出函數(shù)f（x）在（0，1]上的單調(diào)性．
（2）利用奇函數(shù)的定義，即可判斷；函數(shù)f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上單調(diào)遞減，可求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈（0，1]，
∴f′（x）=1-

1

x2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
（2）f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
函數(shù)f（x）在[-

1

2

，-

1

3

]上單調(diào)遞減，
∴最大值為f（-

1

2

）=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．