Question

如圖，∠ADC=150°，∠BDC=120°，AD=1，BD=

3

，現(xiàn)將△ADC沿DC邊折起，使二面角A-DC-B的大小為60°，此時(shí)直線AB與平面BCD所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

分析：先作出A在面BDC上的投影，再作出二面角B-CD-A的平面角，由二面角的大小已知可求得點(diǎn)A到面BDC的距離，再求出線段AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得線面角的正弦值．

解答：解：如圖，作AF⊥面BDC于F，過(guò)F作FE⊥CD延長(zhǎng)線于E，連接AE，由作圖知AF⊥CD，
由線面垂直的判定定理知CD⊥面AEF，所以CD⊥AE，故∠AEF即二面角A-CD-B的平面角，故∠AEF=60°，
又∠ADC=150°，故∠ADE=30°，由AD=1，可得AE=

1

2

，DE=

3

2

∴EF=AE×cos60°=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
AF=AEsin60°=

1

2

×

3

2

=

3

4

過(guò)B作BM⊥CD延長(zhǎng)線于M，由∠BDC=120°得∠BDM=60°
又BD=

3

，故BM=

3

2

，DM=

3

2

，故M與E重合，
所以B，F(xiàn)，E，三點(diǎn)共線，則BF=

3

2

-

1

4

=

5

4

所以AB=

AF2+BF2

=

7

2

由上知∠ABF即線段AB與面BCD所成的角
sin∠ABF=

AF

AB

=

3 4

7 2

=

21

14

故應(yīng)填

21

14

點(diǎn)評(píng)：考查二面角，線面角的定義及相應(yīng)平面角的作法．