Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥平面POC；
（2）求二面角C-PD-O的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用勾股定理，可證OC⊥CD，從而利用線面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）建立坐標(biāo)系，確定平面OPD、平面PCD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；
解答：證明：（1）∵PA=PB=，O為AB中點(diǎn)，
∴PO⊥AB
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PO?側(cè)面PAB，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD為直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC內(nèi)的兩條相交直線
∴CD⊥平面POC…（6分）
解：（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則P（0，0，2），D（-1，3，0），C（1，1，0）
∴=（0，0，2），=（-1，3，0），=（-1，-1，2），=（-2，2，0）
假設(shè)平面OPD的一個(gè)法向量為=（x，y，z），平面PCD的法向量為=（a，b，c），則
由 可得，令x=3，得y=1，z=0，則=（3，1，0），
由可得，令a=2，得b=2，c=，
即 =（2，2，）
∴cos＜，＞===
故二面角O-PD-C的余弦值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量方法解決空間角問題，正確運(yùn)用線面垂直的判定是關(guān)鍵．