Question

已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(3

2

，4)，點B(

10

，2

5

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1，將點A(3

2

，4)，點B(

10

，2

5

)代入，建立方程組，即可求出橢圓C的方程；
（2）設(shè)出雙曲線方程，利用圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，建立兩個方程，從而可求出雙曲線G的方程．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1，…（1分）
從而

18m+16n=1 10m+20n=1

，解得

n= 1 25 m= 1 50

…（3分）
故橢圓C的方程為

x2

50

+

y2

25

=1…（4分）
（2）橢圓C：

x2

50

+

y2

25

=1的兩焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），…（5分）
∵雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，
∴雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，且c=5．…（6分）
設(shè)雙曲線G的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則G的漸近線方程為y=±

b

a

x，…（7分）
即bx±ay=0，且a²+b²=25，
圓M：x²+（y-5）²=9的圓心為（0，5），半徑為r=3．
∵雙曲線G的兩條漸近線恰好與圓M相切
∴

|5a|

a2+b2

=3
∴a=3，b=4．…（9分）
∴雙曲線G的方程為

x2

9

-

y2

16

=1．…（10分）

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查待定系數(shù)法，根據(jù)不同條件，設(shè)出方程是我們解答這類問題的關(guān)鍵．