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1.若函數(shù)f(x)=ex(sinx+acosx)在(\frac{π}{4}\frac{π}{2})上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.(1,+∞)

分析 求導(dǎo),分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.

解答 解:∵f(x)=ex(sinx+acosx)在(\frac{π}{4},\frac{π}{2})上單調(diào)遞增,
∴f′(x)=ex[(1-a)sinx+(1+a)cosx]≥0在(\frac{π}{4},\frac{π}{2})上恒成立,
∵ex>0在(\frac{π}{4},\frac{π}{2})上恒成立,
∴(1-a)sinx+(1+a)cosx≥0在(\frac{π}{4}\frac{π}{2})上恒成立,
∴a(sinx-cosx)≤sinx+cosx在(\frac{π}{4},\frac{π}{2})上恒成立
∴a≤\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}
設(shè)g(x)=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx},
∴g′(x)=\frac{-2}{{(sinx-cosx)}^{2}}<0在(\frac{π}{4},\frac{π}{2})上恒成立,
∴g(x)在(\frac{π}{4}\frac{π}{2})上單調(diào)遞減,
∴g(x)>g(\frac{π}{2})=1,
∴a≤1,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系,關(guān)鍵是分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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( )

A. B.

C. D.

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A. B.

C. D.

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已知函數(shù),,則是( )

A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)

C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)

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6.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x},x<0}\\{\frac{lnx}{x},x>0}\end{array}\right.,若函數(shù)F(x)=f(x)-kx在R上有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( �。�
A.(0,\frac{1}{e}B.(0,\frac{1}{2e}C.(-∞,\frac{1}{2e}D.\frac{1}{2e},\frac{1}{e}

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13.已知數(shù)列{αn}的前n項(xiàng)和sn=3n(λ-n)-6,若數(shù)列{an}單調(diào)遞減,則λ的取值范圍是( �。�
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8.在平面直角坐標(biāo)系中,方程\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{4}=1所表示的曲線(xiàn)是( �。�
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