Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，.

（1）求四棱錐的體積；

（2）求證：∥平面；

（3）求直線和平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2） 取的中點(diǎn)，連接、。∥且 

由底面是直角梯形，垂直于和，得到∥且，從而∥且，由 四邊形是平行四邊形推出∥，得到∥平面；

（3）直線和平面所成的角的正弦值是。

【解析】

試題分析：（1）∵⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥

∵,、是平面內(nèi)的兩條相交直線

∴ 側(cè)棱底面               2分

在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴            4分

（2） 取的中點(diǎn)，

連接、。

∵ 點(diǎn)是的中點(diǎn)  

∴∥且 

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，

∴ ∥且            

∴ ∥且

∴ 四邊形是平行四邊形　　　　　

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面                            8分

（3）∵ 側(cè)棱底面，底面　　　

∴

∵垂直于，、是平面內(nèi)的兩條相交直線

∴ ，垂足是點(diǎn)                  

∴是在平面內(nèi)的射影，

∴是直線和平面所成的角            

∵ 在中，，    

∴

∴

∴ 直線和平面所成的角的正弦值是     13分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角及體積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，能省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。