Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D，D₁分別為棱BC，B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線A₁D₁∥平面ADC₁．
（2）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（3）設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理，只需證明平面外的直線平行于平面內(nèi)的一條直線，證明A₁D₁∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂直，證明AD⊥平面BCC₁B₁即可；
（3）先判斷∠C₁DC為二面角C₁-AD-C的平面角，再在Rt△C₁CD中求解即可．

解答：（1）證明：連接DD₁，∵點(diǎn)D₁為棱B₁C₁的中點(diǎn)，
則DD1

∥

.

CC1

∥

.

AA1，所以四邊形AA₁D₁D為平行四邊形
∴A₁D₁∥AD．  …（3分）
又AD?平面ADC₁，A₁D₁?平面ADC₁，
∴A₁D₁∥平面ADC₁…（5分）
（2）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（7分）
∵點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（9分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（10分）
（3）解：由（1）得AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，AD⊥C₁D
∴∠C₁DC為二面角C₁-AD-C的平面角 …（12分）
又CD=1，CC₁=4，∴C1D=

17

在Rt△C₁CD中，cos∠C1DC=

CD

C1D

=

1

17

=

17

17

∴二面角C₁-AD-C的余弦值為

17

17

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，考查線面、面面位置關(guān)系，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確掌握線面平行、面面垂直的判定定理．