Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²+a的極大值為6．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]，且t∈[-1，1]時，f（x）≥kt-25恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，求出極大值的表達式，解出a即可．
（2）f（x）≥kt-25恒成立 只需kt-25小于等于f（x）的最小值-22．轉(zhuǎn)化成-22≥kt-25 對t∈[-1，1]恒成立．令g（t）=kt-3，再利用函數(shù)性質(zhì)解決求解．
解答：解：（1）由f（x）=2x³-3x²+a得f′（x）=6x²-6x，再由6x²-6x＞0，得出x∈（-∞，0）∪（1，+∞）
由6x²-6x＜0，得出0＜x＜1．
f（x）在∈（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減．f（x）在x=0處取得極大值．
∴f（0）=a，又函數(shù)的極大值為6，所以a=6．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]，f（x）=2x³-3x²+6的最小值為 f（-2）=-22．
∴-22≥kt-25即kt-3≤0．令g（t）=kt-3則g（-1）≤0，且g（1）≤0．解得-3≤k≤3．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系及應(yīng)用，求極值、最值．考查不等式恒成立問題，構(gòu)造法以及函數(shù)思想．是好題．