Question

已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在上無零點(diǎn),求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).

(2函數(shù)在上無零點(diǎn)，則的最小值為.

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)時(shí), ()，則.    2分

由得；由得.                4分

故的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).        5分

(2)要使函數(shù)在上無零點(diǎn),只要對(duì)任意,無解.

即對(duì)，無解.       7分

令，，則，  9分

再令，，則.  11分

故在為減函數(shù)，于是，

從而，于是在上為增函數(shù)，

所以，                 13分

故要使無解，只要.

綜上可知，若函數(shù)在上無零點(diǎn)，則的最小值為.   14分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式證明問題，不等式的解法。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。采用“表解法”，更加清晰明了。涉及函數(shù)零點(diǎn)的討論問題，往往要轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)圖象的大致形態(tài)，明確圖象與x軸交點(diǎn)情況。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要注意函數(shù)的定義域。