已知函數(shù)f(x)=sinx•cosx-
3
cos2x+
1
2
3
(x∈R)
,
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求f(x)圖象的對稱軸,對稱中心.
分析:(1)用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡,進而根據(jù)T=
w
求得最小正周期.
(2)由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
π
2
+2kπ(k∈z)
時,函數(shù)單調(diào)增,
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
2
+2kπ(k∈z)
函數(shù)單調(diào)減.進而求得x的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間.
(3)由正弦函數(shù)的對稱性可知,利用2x-
π
3
=
π
2
+kπ
求得函數(shù)的對稱軸,由2x-
π
3
=kπ
求得對稱中心.
解答:解:(1)f(x)=
1
2
sin2x-
3
cos2x+1
2
+
1
2
3

=(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)

=sin(2x-
π
3
)

T=π;
(2)由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
π
2
+2kπ(k∈z)
,
可得單調(diào)增區(qū)間[kπ-
π
12
,kπ+
5
12
π]
,
(k∈z),
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
2
+2kπ(k∈z)

可得單減區(qū)間[kπ+
5
12
π,kπ+
11
12
π](k∈z)
;
(3)由2x-
π
3
=
π
2
+kπ
得對稱軸為x=
12
+
2
(k∈z)

2x-
π
3
=kπ
得對稱中心為x=
2
+
π
6
,k∈Z.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法.考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當x∈S時有x2∈S,給出下列四個結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對一個實數(shù)集合M,若存在實數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項組成的集合的上界(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的最大值.

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