Question

已知函數(shù) ．
(Ⅰ)若在處的切線垂直于直線，求該點的切線方程，并求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和；
(Ⅱ) 或.

試題分析：(Ⅰ)通過切線垂直直線可以得到切線的斜率，解出，將代入求出切點坐標，從而求出切線方程，令和分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(Ⅱ)通過對的討論，求出在上的最大值，令，解出的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) ，根據(jù)題意，解得，
此時切點坐標是，故所求的切線方程是，即.
當時，，
令，解得，令，解得且，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和．             5分
(Ⅱ) .
①若，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；                     7分
②若，則在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，中的較大者，，故當時，函數(shù)的最大值為，當時，函數(shù)的最大值為；                     9分
③當時，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為.                      11分
綜上可知，在區(qū)間上，當時，函數(shù)，當時，函數(shù).
不等式對任意的恒成立等價于在區(qū)間上，，故當時，，即，解得或；當時，，即，解得.                 12分
綜合知當或時，不等式對任意的恒成立．      13分