Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項之和為S_n，S_n與a_n滿足關(guān)系S_n=2-

n+2

n

an（n∈N^*）
（1）求a_n+1與a_n的關(guān)系式，并求a₁的值；
（2）證明：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（3）是否存在常數(shù)p使數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列？若存在，請求出常數(shù)p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁，解得a1=

1

2

．n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=（2-

n+2

n

an）-（2-

n+1

n-1

an-1），推導(dǎo)出a_n+1=

n+1

2n

an．
（2）由（1）知

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，

a1

1

=

1

2

，由此能證明{

an

n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而求出an=n•(

1

2

)n．
（3）若存在常數(shù)p使數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列，則

( 1 2 )n( 1 2 n+ 1 2 -pn)

( 1 2 )n-1( 1 2 n- 1 2 -pn+p)

=

1

2

•

1 2 n+ 1 2 -pn

1 2 n-pn+p

為常數(shù)，由此能求出p=

1

2

時，數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列．

解答： （1）解：∵S_n與a_n滿足關(guān)系S_n=2-

n+2

n

an（n∈N^*），
∴a₁=S₁=2-3a₁，解得a1=

1

2

．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2-

n+2

n

an）-（2-

n+1

n-1

an-1）
=

n+1

n-1

an-1-

n+2

n

an．
∴an=

n

2(n-1)

an-1，
∴a_n+1=

n+1

2n

an．
（2）證明：∵a_n+1=

n+1

2n

an，
∴

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∵

a1

1

=

1

2

，
∴{

an

n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴

an

n

=(

1

2

)n，
∴an=n•(

1

2

)n．
（3）解：a_n+1-pa_n=（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹-np-（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）ⁿ（

1

2

n+

1

2

-pn），
若存在常數(shù)p使數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列，
則

( 1 2 )n( 1 2 n+ 1 2 -pn)

( 1 2 )n-1( 1 2 n- 1 2 -pn+p)

=

1

2

•

1 2 n+ 1 2 -pn

1 2 n-pn+p

為常數(shù)

1

2

，
∴p=

1

2

，
即p=

1

2

時，數(shù)列{a_n+1-pa_n}為等比數(shù)列．

點評：本題考查a_n+1與a_n的關(guān)系式，并求a₁的值，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足等比數(shù)列的常數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．