Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

有下列四個(gè)個(gè)結(jié)論：
①f（x）是奇函數(shù)．
②當(dāng)x＞2003時(shí)，f(x)＞

1

2

．
③f（x）的最大值是

3

2

．
④f（x）的最小值是-

1

2

．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

④

．

Answer 1

分析：依次分析命題：①運(yùn)用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運(yùn)用
sin²x=

1-cos2x

2

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用cos2x和（

2

3

）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

滿足f（-x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

=f（x），故f（x）是偶函數(shù)，故①不正確．
對(duì)于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時(shí)，x＞2003，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0，
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此結(jié)論②錯(cuò)．
對(duì)于結(jié)論③，又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0．故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即結(jié)論③錯(cuò)．
對(duì)于④，而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0時(shí)同時(shí)取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0時(shí)可取得最小值-

1

2

，即結(jié)論④是正確的．
故答案為 ④．

點(diǎn)評(píng)：本題以具體函數(shù)為載體，考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識(shí)對(duì)函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時(shí)還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．