Question

已知函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0
（1）求f（0）； 
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并給出證明．
（3）如果f（x）+f（2-3x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）解令x₂=0，由f（x₁+0）=f（x₁）+f（0）
即：f（x₁）=f（x₁）+f（0），解之得f（0）=0
（2）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 （-∞，+∞）是減函數(shù)
證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0．
∴由當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0，得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0
可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）＜0轉(zhuǎn)化為f（2-2x）＜f（0），
又∵f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)
∴2-2x＞0，解之得x＜1，即x的取值范圍為（-∞，1）
分析：（1）在題中所給函數(shù)關(guān)系式中取x₂=0，化簡即可計(jì)算出f（0）的值等于0；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)題中運(yùn)算法則化簡得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0證出f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)；
（3）根據(jù)題中運(yùn)算法則化簡得f（x）+f（2-3x）=f（2-2x），結(jié)合f（0）=0將不等式f（x）+f（2-3x）＜0轉(zhuǎn)化為f（2-2x）＜f（0），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可解出實(shí)數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值、討論函數(shù)的單調(diào)，并依此解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．運(yùn)用“賦值法”進(jìn)行求值和化簡，是解決抽象函數(shù)問題的一般方法．