Question

為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體．假設(shè)博物館需要支付的總費用由兩部分組成：①罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元；②需支付一定的保險費用，且支付的保險費用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元．
（1）求博物館支付總費用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求博物館支付總費用的最小值；
（3）（理）如果要求保護(hù)罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護(hù)罩底面（不計厚度）正方形邊長不得少于1.1米，高規(guī)定為2米．當(dāng)博物館需支付的總費用不超過8千元時，求保護(hù)罩底面積的最小值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由需要支付的總費用由兩部分組成，當(dāng)容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元，可求比例系數(shù)，從而可求支付總費用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）得：利用基本不等式可求出當(dāng)且僅當(dāng)，博物館支付總費用的最小值；
（3）法1：由題意得不等式：，分別求出當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時，當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時，最后根據(jù)底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，得出底面正方形的面積最小可取1.4平方米；
法2：先解方程，利用函數(shù)的單調(diào)性求得底面正方形的面積最小可取1.4平方米；
法3：利用基本不等式可求最值，注意等號成立的條件．
解答：解：：（1）（或）（V＞0.5）（理4分，文6分）
（2）（理8分，文12分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時不等式取得等號（理（10分），文15分）
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．                   （文16分）
（3）（理）解法1：由題意得不等式：（理12分）
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時，，代入整理得：4S²-51S+144≤0，解得；
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時，V=2S，代入整理得：4S²-17S+16≤0，解得（理15分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米    （理16分）
解法2．解方程，即V²-8.5V+16=0得兩個根為V₁=2.814，V₂=5.686（理12分）
由于函數(shù)在（0，4]上遞減，在[4，+∞）上遞增，所以當(dāng)V＜V₁時，總費用超過8000元，所以V取得最小值V₁（理14分）
由于保護(hù)罩的高固定為2米，
所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．
所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時，保護(hù)罩底面積最小，m²            （理15分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21＜1.4，
所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米   （理16分）
解法3．解（理12分）
得（理14分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時，；
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時，V=2S≥2.42．
所以，保護(hù)罩容積可取最小V=2.8立方米，當(dāng)形狀為棱柱時底面正方形的面積最小，為1.4平方米  （理16分）
點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值問題的研究，應(yīng)注意基本不等式成立的條件．