Question

已知直角梯形ABCD與等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB=∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線(xiàn)AE∥平面PCD；
（2）求平面PCD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EF、DF，由已知條件推導(dǎo)出EF平行且等于

1

2

BC，從而得到四邊形AEFD為平行四邊形，由此能證明AE∥平面PCD．
（2）取AB的中點(diǎn)O，CD的中點(diǎn)Q，連接OP，OQ．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P、OB、OQ為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PCD與平面PAB所成角的正弦值．

解答： （1）證明：如圖1取PC的中點(diǎn)F，連接EF、DF．
在△PBC中，PE=EB，PF=FC，
所以EF平行且等于

1

2

BC，
又AD平行且等于

1

2

BC，
所以EF平行且等于AD，故四邊形AEFD為平行四邊形，
所以AE∥DF，
又因?yàn)锳E?面PCD，DF?面PCD，
所以AE∥平面PCD．
（2）解：如圖2，取AB的中點(diǎn)O，CD的中點(diǎn)Q，連接OP，OQ．
在△APB中，AP=PB，OA=OB，∠APB=90°，
所以PO⊥AB，且PO=

1

2

AB=1．
在直角梯形ABCD中，AO=OB，DQ=QC，
所以O(shè)Q∥BC，
又因?yàn)锽C⊥AB，所以O(shè)Q⊥AB，
又因?yàn)槊鍭PB⊥面ABCD，面APB∩面ABCD=AB，
所以O(shè)Q⊥面PAB．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P、OB、OQ為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（1，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），D（0，-1，1）．
故

PD

=（-1，-1，1），

PC

=（-1，1，2）．
設(shè)面PCD的法向量為n=（x，y，z），
則由

n • PD =-x-y+z=0 n • PC =-x+y+2z=0

，
令y=1，則z=-2，x=-3．
故n=（-3，1，-2）為面PCD的一個(gè)法向量．
因?yàn)镺Q⊥面PAB，所以可取m=（0，0，1）為面PAB的一個(gè)法向量．
故cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

-2

(-3)2+12+(-2)2

=-

14

7

．
設(shè)所求二面角為θ，所以|cos θ|=|cos＜m，n＞|=

14

7

，
所以sinθ=

1-( 14 7 )2

=

35

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．