Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，F(xiàn)是圓O上的兩點(diǎn)，AF∥OC，過C作圓O的切線交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（Ⅰ）證明：∠DAC=∠BAC；
（Ⅱ）若CM⊥AB，垂足為M，求證：AM•MB=DF•DA．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）AF∥OC⇒∠CAF=∠ACO，OA=OC⇒∠CAO=∠ACO，根據(jù)相等的傳遞性，得出∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）連接BC，在RT△ACB中，CM²=AM•MB，又CD為圓O的切線，所以CD²=DF•DA，只需證出CD=CM即可．根據(jù)圓的切線性質(zhì)，OC⊥CD，結(jié)合AD∥OC得出AD⊥CD，從而可以證出RT△AMC≌△RTADC，CM=CD．
解答：證明：（Ⅰ）∵AF∥OC，∴∠CAF=∠ACO．
又∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠CAB，即∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）連接BC，在RT△ACB中，CM⊥AB，
∴CM²=AM•MB
又CD為圓O的切線，∴CD²=DF•DA
∵OC⊥CD，AD∥OC，∴AD⊥CD．
∴RT△AMC≌△RTADC，∴CM=CD
∴AM•MB=DF•DA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與圓相關(guān)的比例線段，由證明的結(jié)論形式分析證明思路，先分析角\邊的關(guān)系，再選取恰當(dāng)?shù)墓�式、定理、性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵．