Question

已知點C（4，0）和直線l：x=1，P是動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且，設(shè)P點的軌跡是曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）點O是坐標原點，是否存在斜率為1的直線m，使m與M交于A、B兩點，且若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由 ．得 ．直接設(shè)出點P的坐標，代入整理即可求出點P所在曲線以及曲線的軌跡方程M；
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線m：y=x+n，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，整理得13年n²-8n+76=0，因其判別式△＜0，所以不存在斜率為1的直線m滿足題意．
解答：解：（1）由知，∴．（2分）
設(shè)P（x，y），代入上式得，（4分）
平方整理得．（6分）
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線m：y=x+n，使m與M交于A、B兩點，與．聯(lián)立，
得2x²-2nx-（n²+12）=0．設(shè)A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴，①（8分）
，∴，②（9分）
將②代入①得∴，（10分）
消去x₁，整理得n²-8n+76=0，因其判別式△=8²-4×13×76＜0
所以不存在斜率為1的直線m滿足題意．（12分）
點評：本題綜合考查了橢圓的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系以及向量共線問題．是一道綜合性很強的好題．