Question

甲、乙兩名籃球運(yùn)動員，各自的投籃命中率分別為0.5與0.8，如果每人投籃兩次．
（1）求甲比乙少投進(jìn)一次的概率；
（2）若投進(jìn)一個球得2分，未投進(jìn)得0分，求兩人得分之和ξ的期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件B，“每人投籃兩次，甲比乙少投進(jìn)一次”為事件C，則事件C包括甲兩次中一次，乙兩次全中，或甲兩次一次未中，乙兩次中一次．由題意可得事件A，B是相互獨(dú)立事件，進(jìn)而根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及互斥事件的加法公式求出答案．
（2）隨機(jī)變量ξ表示兩人得分之和，可能取值為0，2，4，6，8．根據(jù)二項(xiàng)分別的概率和期望公式可得到答案．

解答：解：（1）記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件B，“每人投籃兩次，甲比乙少投進(jìn)一次”為事件C，則事件C包括兩種情況：
①甲兩次中一次，乙兩次全中，其概率為P₁=C

1 2

1

2

×

1

2

•C

2 2

（

4

5

）²=

8

25

，
②甲兩次一次未中，乙兩次中一次，其概率為P₂=C

0 2

1

2

×

1

2

•C

1 2

4

5

×

1

5

=

2

25

；
所以所求概率P=P₁+P₂=

8

25

+

2

25

=

2

5

；
（2）兩人得分之和ξ可能取值為0，2，4，6，8．
則當(dāng)ξ=0時(shí)，表示每人投籃兩次都未中，其概率為P（ξ=0）=C

0 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2=

1

100

，
當(dāng)ξ=2時(shí)，表示每人投籃兩次，恰有一人兩次中一次，
其概率為P（ξ=2）=C

1 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2+C

0 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

=

1

10

，
同樣地，P（ξ=4）=C

1 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

+C

0 2

(

1

2

)2•C

2 2

(

4

5

)2+C

2 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2=

33

100

P（ξ=6）=C

2 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

+C

1 2

(

1

2

)2•C

2 2

(

4

5

)2=

2

5

P（ξ=8）=

4

25

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

100

+2×

1

10

+4×

33

100

+6×

2

5

+8×

4

25

=5.2．

點(diǎn)評：本題以投籃為素材，考查相互獨(dú)立事件的定義與計(jì)算公式，考查二項(xiàng)分布．解決此題的關(guān)鍵是首先明確事件之間的關(guān)系，即是獨(dú)立關(guān)系還是相互獨(dú)立關(guān)系，進(jìn)而選擇正確的公式進(jìn)行解題．