Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

a

x

，且f（1）=3
（I）求a的值；
（II）判斷函數(shù)的奇偶性；
（III）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．

Answer 1

分析：（I）利用f（1）=3，代入解析式進(jìn)行求解；
（II）先求出函數(shù)的定義域，并且判斷是否關(guān)于原點對稱，再驗證f（x）和f（-x）的關(guān)系；
（III）先給出結(jié)論，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論．

解答：解：（I）由f（1）=3得，2-a=3（2分）
∴a=-1（4分）
（II）由（I）得函數(shù)f(x)=2x+

1

x

，
則函數(shù)f(x)=2x+

1

x

的定義域為{x|x≠0}（5分）
∵f(-x)=2(-x)+

1

-x

=-2x-

1

x

=-(2x+

1

x

)=-f(x)（7分）
∴函數(shù)f(x)=2x+

1

x

為奇函數(shù)．（8分）
（III）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），不妨設(shè)x₁＜x₂，則有（9分）

f(x1)-f(x2)=2x1+ 1 x1 -(2x2+ 1 x2 ) =2(x1-x2)+( 1 x1 - 1 x2 ) =2(x1-x2)+( x2-x1 x1x2 ) =(x1-x2)(2- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(2x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，2x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．（12分）

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的證明，注意證明奇偶性時必須先求出函數(shù)的定義域，并且判斷是否關(guān)于原點對稱，函數(shù)單調(diào)性的證明必須按照定義法進(jìn)行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論．