Question

設(shè)a、b、c依次為△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊，若

tanA•tanB

tanA+tanB

=1005tanC，且a²+b²=mc²，則m=

 

．

Answer 1

分析：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理可得  c²=

abcosC

1005

，再根據(jù) a²+b²=mc²，m=

2010(a2+b2)

a2+b2-c2

，把余弦定理代入可得m=

2010(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，解方程求出m值．

解答：解：△ABC中，∵

tanA•tanB

tanA+tanB

=1005tanC，∴

sinAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=1005

sinC

cocC

，
∴sinAsinBcosC=1005sinC•sin（A+B）=1005sin²C，由正弦定理得
abcosC=1005c²，c²=

abcosC

1005

． 
又∵a²+b²=mc²，∴a²+b² =m•

abcosC

1005

=

mab• a2+ b2-c2 2ab

1005

=

m( a2+b2-c2)

2010

，
∴m=

2010(a2+b2)

a2+b2-c2

=

2010(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，∴2010（a²+b²）=m（a²+b²）-（ a²+b² ）．
∴m=2011，故
答案為 2011．

點(diǎn)評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，式子變形是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．