Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若∠MFN=∠NMF+90°，則橢圓C的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合已知可得a，b，c的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合隱含條件可得關(guān)于離心率e的方程求解．

解答 解：如圖，

tan∠NMF=$\frac{a}$，tan∠NFO=$\frac{c}$，
∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°-MFN=90°-∠NMF，
即tan∠NFO=$\frac{1}{tan∠NMF}$，
∴$\frac{c}=\frac{a}$，則b²=a²-c²=ac，
∴e²+e-1=0，得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．