Question

已知過A（0，1），B（1，2）的圓C的圓心在第一象限，且弧AB對的圓周角為

π

4

．
（1）求圓C的方程．
（2）若D（2，-1），求∠ADB的角平線的方程．
（3）若直線y=x+b，（-2≤b≤-1），求直線掃過圓的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得圓C的圓心在第一象限且在線段AB的中垂線上，根據(jù)線段AB的中垂線方程設(shè)出圓心C 的坐標(biāo)，再根據(jù)
AC⊥BC，斜率之積等于-1求出圓心C 的坐標(biāo)，進(jìn)而得到半徑，由此求得圓C的方程．
（2）根據(jù)DB到∠ADB的角平線的角等于∠ADB的角平分線到DA的角，可得

k+3

1+k(-3)

=

-1-k

1+(-1)k

，解得∠ADB的角平分線 k 的值，用點(diǎn)斜式求出∠ADB的角平線的方程．
（3）當(dāng)b=-1時(shí)，求出截圓得到的弦長為 MN 的值，可得∠MCN=

π

2

．b=-2 時(shí)，直線和圓相離，直線掃過的面積是一個(gè)弓形，其面積等于扇形MCN的面積減去等腰直角三角形MCN的面積．

解答：解：（1）由題意可得圓C的圓心在第一象限且在線段AB的中垂線上，且弧AB對的圓心角為

π

2

．
又AB的中點(diǎn)M（

1

2

，

3

2

），AB的斜率等于

2-1

1-0

=1，故AB的中垂線方程為y-

3

2

=-1•（x-

1

2

），
即x+y-2=0．
故可設(shè)C（a，2-a），再由AC⊥BC可得

1-a-1

a-0

•

1-a-2

a-1

=-1，解得a=1，
故圓心C（1，1），半徑等于|CA|=

1+0

=1，
故圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）設(shè)∠ADB的角平線的斜率等于k，由于DB的斜率k₁=

2+1

1-2

=-3，DA的斜率k₂=

1+1

0-2

=-1．
由題意可得DB到∠ADB的角平線的角等于∠ADB的角平分線到DA的角，
故有

k+3

1+k(-3)

=

-1-k

1+(-1)k

，解得 k=

-1+ 5

2

（舍去），k=

-1- 5

2

，
∴∠ADB的角平線的方程 y+1=

-1- 5

2

（x-2），即（

5

+1）x+2y-2

5

=0．
（3）當(dāng)b=-1時(shí)，直線直線y=x+b 即x-y-1=0，圓心C到直線的距離等于

1

2

=

2

2

，
截圓得到的弦長為 MN=2

1- 1 2

=

2

，故∠MCN=

π

2

．
b=-2 時(shí)，直線直線y=x-2 即x-y-2=0，圓心C到直線的距離等于

2

2

=

2

 大于半徑，
此時(shí)直線和圓相離．
直線掃過的面積是一個(gè)弓形，其面積等于扇形MCN的面積減去等腰直角三角形MCN的面積，
即

1

4

×π×12- 

1

2

×1×1=

π-2

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．