Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0且a_n²-2a_nS_n+1=0，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：{S_n²}是等差數(shù)列；
（2）求證：a_n＞a_n+1（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過已知的等式，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），直接化簡即可得到S_n²-S_n-1²=常數(shù)，即可證明{S_n²}是等差數(shù)列；
（2）求出a₁，利用（1）得到S_n，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得到表達(dá)式，然后通過放縮法證明a_n＞a_n+1（n∈N^*）．
解答：證明：（1）∵a_n²-2a_nS_n+1=0，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴（S_n-S_n-1）²-2（S_n-S_n-1）S_n+1=0⇒S_n²-S_n-1²=1
故{S_n²}成等差數(shù)列．
（2）∵a₁²-2a₁²+1=0，a₁＞0
∴a₁=S₁=1
∴S_n²=1+（n-1）=n
故
∴=（n∈N^*）
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)列的判斷，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，放縮法的應(yīng)用，對通項(xiàng)公式的理解能力的考查，是本題的難點(diǎn)．