Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，5）．
（Ⅰ）求函數(shù)m的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）把點(diǎn)（1，5）代入f（x）=x+

m

x

即可解得；
（II）f（x）在[2，+∞）是單調(diào)遞增．利用單調(diào)遞增函數(shù)的定義即可證明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）過(guò)點(diǎn)（1，5），
∴1+m=5，解得m=4．
（Ⅱ）f（x）在[2，+∞）是單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁，x₂∈[2，+∞）且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．
∵x₁，x₂∈[2，+∞）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[2，+∞）是單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“待定系數(shù)法”、函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明方法，屬于基礎(chǔ)題．