Question

14、有如下四個命題：
①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內(nèi)至少有一條直線與平面β垂直；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內(nèi)有一條直線與直線a平行；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內(nèi)的射影互相平行的既不充分也不必要條件．
其中正確的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內(nèi)至少有一條直線與平面β垂直，此命題可由線面垂直的判定定理作出判斷；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，此命題可由面面平行的定義作出判斷；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內(nèi)有一條直線與直線a平行，可由線面平行的判定定理作出判斷；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內(nèi)的射影互相平行的既不充分也不必要條件，可由直線在面中的各種投影關(guān)系作出判斷．

解答：解：①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內(nèi)至少有一條直線與平面β垂直，是一個正確命題，由定理過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，正確命題，兩平面平行，可得出一個平面中有無數(shù)條直線與另一個平面平行，反之，一個平面中有無數(shù)條直線與另一個平面平行，推不出兩平面平行；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內(nèi)有一條直線與直線a平行，錯誤命題，此是一個充要條件；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內(nèi)的射影互相平行的既不充分也不必要條件，正確命題，兩條直線平行時，在同一個平面內(nèi)的投影可以是兩個點，不能得射影平行，如果兩個直線在平面內(nèi)的投影平行，兩直線的位置關(guān)系可能是異面．
故答案為：①②④

點評：本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，主要考查了對幾個定理的正確理解，是基本概念型題．