Question

 

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，

且OA=OB=OC=1.

   （I）設P為AC的中點，證明：在AB上存在一點Q，使并計算的值;

   （II）求二面角O—AC—B的平面角的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎知識，同時考查空間想象力、推理論證能力和運算求解能力.

    解法一：

   （I）在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連結(jié)NC.

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.

平面ONC，

取Q為AN的中點，則PQ//NC，

在等腰

在

在

   （II）連結(jié)ON，PO.

由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，

又平面OAB，∴OC⊥ON，

又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，

∴OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影，

在等腰中，P為AC的中點，

根據(jù)三垂線定理，知：AC⊥NP.

為二面角O—AC—B的平面角，

在等腰中，OC=OA=1，，

在

解法二：

   （I）取O為坐標原點，分別以OA，OC所在角的直線為x軸，z軸，建立空間直角從標系O—xyz（如圖所示）

則A（1，0，0），C（0，0，1），

∵P為AC中點，

設

所以存在點使得

   （II）記平面ABC的法向量為，則由

且，

得故可取

又平面OAC的法向量為

二面角O—AC—B的平面角是銳角，記為