Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見(jiàn)解析．（Ⅲ）見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得，求得，得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可得到切線的方程；

（Ⅱ）由，得到在上是增函數(shù)，進(jìn)而得到，再根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，即可求解.

（Ⅲ）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

解：（Ⅰ） 則：，又

所以，所求切線方程為，即．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

所以在上是增函數(shù)，

則，

所以在上是增函數(shù)，

又，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在上．

（Ⅲ）由題意，在上恒成立，

即在上恒成立，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，恒成立，

設(shè)

所以，

由（Ⅱ）可知，，使，

所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)

由此，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以

從而，

所以．

又因?yàn)椋?/span>，

，

所以．

由于在上是增函數(shù)，

所以，

故．