Question

（2006•重慶二模）若|a|＜2，則

lim

n→∞

1+2+4+…+2n

2n+an

=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比數(shù)列求和公式，算出1+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，代入所求式子再將分子分母都除以2ⁿ，則原式=

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

，再根據(jù)
|a|＜2得n→∞時(shí)(

a

2

)n的極限為0，且

1

2n

的極限也為0，由此可得

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

=2，得到本題答案．

解答：解：∵1+2+4+…+2ⁿ=

1-2n+1

1-2

=2ⁿ⁺¹-1
∴

lim

n→∞

1+2+4+…+2n

2n+an

=

lim

n→∞

2n+1-1

2n+an

=

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

∵|a|＜2，得(

a

2

)n→0，n→∞
∴

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

=

2-0

1+0

=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題通過求一個(gè)分式的極限，考查了等比數(shù)列求和公式和極限的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．