Question

（12分）已知橢圓，過點(diǎn)（m,0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點(diǎn).

（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）|AB|的最大值為2.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程，利用橢圓G經(jīng)過點(diǎn)P( )，且一個(gè)焦點(diǎn)為(-，0)，建立方程，求得幾何量，即可求得橢圓G的方程；

（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，分類討論：當(dāng)m=±1時(shí)，|AB|=；當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及l(fā)與圓x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，從而可得結(jié)論．

解：（Ⅰ）由已知得所以

所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為

（Ⅱ）由題意知，.

當(dāng)時(shí)，切線的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為

此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得

當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為

由

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

又由與圓

所以

由于當(dāng)時(shí)，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314465098026973/SYS201301131447584646812288_DA.files/image025.png">且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，

所以|AB|的最大值為2.

考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)利用設(shè)而不求的思想來得到坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合韋達(dá)定理消去參數(shù)得到弦長的值，運(yùn)用函數(shù)思想求解其范圍。